Zapoznanie studentów z teorią oraz zastosowaniami rachunku różniczkowego i różnicowego niecałkowitego rzędu. Studenci zdobędą umiejętności modelowania i analizy systemów dynamicznych z wykorzystaniem operatorów ułamkowych oraz nauczą się implementować algorytmy numeryczne do rozwiązywania równań różniczkowych i różnicowych niecałkowitego rzędu.

Podstawy rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu. Funkcje specjalne. Równania różniczkowe ułamkowego rzędu. Transformacja Laplace’a. Transformata Z. Układy równań różniczkowych i różnicowych ułamkowego rzędu.

Wykład:
1. Wprowadzenie do rachunku różniczkowego niecałkowitego rzędu – historia, motywacja i zastosowania
2. Funkcje specjalne
3. Definicje i podstawowe pojęcia – różne podejścia do pochodnych i całek ułamkowego rzędu
4. Podstawowe właściwości operatorów ułamkowych ciągłych
5. Równania różniczkowe ułamkowego rzędu
6. Transformacja Laplace’a i zastosowania
7. Układy równań różniczkowych ułamkowego rzędu
8. Transformacja Fourirera i zastosowania
9. Równania różnicowe ułamkowego rzędu
10. Układy równań różnicowych ułamkowego rzędu
11. Transformata Z i zastosowania
12. Metody numeryczne w rachunku różniczkowym ułamkowego rzędu
13. Zaliczenie wykładu

Pracownia specjalistyczna:

1. Implementacja funkcji specjalnych
2. Implementacja operatora ułamkowego rzędu w Pythonie i MATLAB-ie
3. Metody numeryczne w obliczeniach pochodnych niecałkowitego rzędu – implementacja metod Caputo i Riemanna-Liouville’a
4. Rozwiązywanie równań różniczkowych ułamkowego rzędu – zastosowanie metod numerycznych w praktyce
5. Stabilność rozwiązań numerycznych dla równań frakcyjnych – analiza błędów i ich minimalizacja
6. Modelowanie dynamicznych systemów fizycznych z użyciem operatorów ułamkowych – symulacje w MATLAB-ie lub Simulinku
7. Modelowanie systemów różnicowych z użyciem operatorów ułamkowych
8. Filtry frakcyjne w przetwarzaniu sygnałów – implementacja i analiza filtrów
9. Analiza i symulacja chaotycznych układów dynamicznych z operatorami ułamkowymi
10. Zastosowanie równań różnicowych niecałkowitego rzędu w grafach i sieciach neuronowych
11. Symulacje numeryczne układów biologicznych z wykorzystaniem operatorów ułamkowych
12. Implementacja algorytmów różnicowych frakcyjnych
13. Optymalizacja algorytmów obliczeniowych dla równań ułamkowego rzędu
14. Wykorzystanie operatorów ułamkowych w finansowych modelach prognostycznych
15. Porównanie różnych podejść do liczenia pochodnych frakcyjnych – analiza wydajności i dokładności

metoda projektów,   wykład informacyjny,  

Wykład: zaliczenie pisemne
Pracownia specjalistyczna: 5 sprawozdań

1. I. Podlubny, Fractional Differential Equations, Academic Press, 1999
2. R. Hilfer (red.), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific Publishing, 2000
3. F. Mainardi, Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models, Imperial College Press, 2010

1. K.B. Oldham, J. Spanier, The Fractional Calculus: Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order, Academic Press, 1974
2. S.G. Samko, A.A. Kilbas, O.I. Marichev, Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Gordon and Breach Science Publishers, 1999
3. R. Herrmann, Fractional Calculus: An Introduction for Physicists, World Scientific Publishing, 2014
4. V.E. Tarasov, Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields, and Media, Springer, 2011